1 лаб

Лабораторная работа №1. Моделирование звеньев автоматических систем.

W(p)

W(p) - передаточная функция - отношение изображений выходного сигнала к входному при нулевых начальных условиях.

$$ W(p) = {Y(p) \over G(p)} = {b_mp^m + b_{m-1} p^{m-1} + ... +b_1p + b_0 \over a_np^n + a_{n-1}p^{n-1} + ... + a_1p + a_0 } \qquad \qquad \qquad \text{ (1)}$$ $$ \text{Где: } b_m, b_{m-1}, ..., b_1, b_0, a_{n-1},...,a_1, a_0 \text{ заданные постоянные коэффициенты;} $$ $$ n \le m – \text{порядок числителя и знаменателя, соответственно;}$$ $$ p = \alpha \pm \beta j \text{ - комплексная переменная. } $$

Y(p) — изображение выходного сигнала

G(p)— изображение входного сигнала

Передаточной функции вида (1) соответствует неоднородное линейное дифференциальное уравнение вида

$$ a_{n-1}{d^ny \over dt^n } + a_{n-1}{d^{n-1}y \over dt^{n-1}} +...+a_1{dy \over dt} + a_0y = $$ $$ = b_n{d^ng \over dt^n} + b_{n-1}{d^{n-1} g \over dt^{n-1}} +...+ b_1{dg \over dt} + b_0g \qquad \qquad \qquad \text{ (2)}$$ $$ \text{ Требуется найти y(t) при заданных постоянных коэффициентах } $$ $$ a_i, b_j(i=0(1)_n; j=0(1)n) $$ $$ \text{и воздействии g(t), зависимость которого от времени заранее не задана.} $$

Уравнение (2) является: дифференциальным, так как присутствуют производные функций y и g; неоднородным, так как правая часть отлична от нуля; линейным так все составляющие присутствуют в первой степени.

В зависимости от вида входного сигнала g(t) получаем одну из временных характеристик переходную или весовую.

h(t) и w(t)

h(t) - переходная функция - реакция системы на единичную ступенчатую функцию 1(t)

w(t) - весовая функция - реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию Дирака - $$ \delta(t) $$)

Единичная ступенчатая функция

$$ 1(t) = \begin{cases} 1, t >= 0; \\ 0, t < 0. \end{cases} $$

Для автоматических систем является распространенным видом входного воздействия. Как правило, подобные воздействия сопровождают процессы включения систем и вызывают переходы от одного установившегося состояния к другому

Импульсный сигнал

$$ \delta (t) = \begin{cases} \infty , t = 0; \\ 0, t \neq 0. \end{cases} $$ Т.е. это импульс с бесконечной амплитудой, площадь которого принимается равной 1. Для автоматических систем является менее распространенным видом входного воздействия, чем 1(t). Однако для теоретического описания автоматических систем имеет существенное значение. Подобные воздействия характерны для радарных комплексов, описывают передачу импульса при упругом взаимодействии и т.д.

Из определений функций 1(t) и $$ \delta(t) $$ очевидна связь между ними:

$$ 1(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta (t) dt \text{ и } \delta (t) = 1'(t) \qquad \qquad \qquad \text{ (3) }$$

Единичная ступенчатая функция 1(t) легка для практической реализации с высокой точностью, однако дельта-функцию Дирака $$ \delta(t) $$ реализовать сложнее.

Аналогично взаимосвязи (3) между входными сигналами, подобное же отношение существует и для соответствующих типовых временных характеристик:

$$ h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} w(t)dt \text{ и } w(t) = h'(t) \qquad \qquad \qquad \text{ (4) } $$

Цель 1 лабораторной работы

Получить h(t), w(t) различными методами:

Построить графики этих функций с помощью моделирования;
Получить аналитические выражения этих функций классическим методом;
Получить аналитические выражения операторным методом.
Сопоставить графики, полученные с помощью моделирования и по аналитическим формулам.

Моделирование

Известны различные способы моделирования таких передаточных функций, среди которых наибольшее распространение нашли способы, позволяющие осуществлять моделирование при заранее неизвестном законе изменения входного сигнала и избегать применения численного дифференцирования, которое, как известно, весьма восприимчиво к неточностям представления тех или иных координат звеньев, автоматических систем:

непосредственное интегрирование;
разложение на уравнения первого порядка;
комбинирование производных.

Эти методы позволяют преобразовать уравнения таким образом, чтобы избавиться от слагаемых с $$ \delta (t)$$ и ее производными (при наличии p в числителе W(p)), так как численные методы решения дифференциальных уравнений не предназначены для решения уравнений с $$ \delta (t)$$. Кроме того, позволяют понизить степень дифференциальных уравнений порядка n, соответствующих передаточной функции, разбивая их на эквивалентную систему из n дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Рассмотрим моделирование на примере, применяя метод непосредственного интегрирования

Пусть:

$$ W(p) = {Y(p) \over G(p)} = {k(Tp + 1) \over T_2^2p+1} $$

где k, T₁, T₂ - постоянные коэффициенты, характеризующие параметры звена с заданной передаточной функцией (причем , k – коэффициент усиления, T₁, T₂ - постоянные времени)

Напомним, что при записи передаточной функции $$ p = \alpha \pm \beta j $$ – комплексная переменная.

Так как при нулевых начальных условиях запись передаточных функций для переменных во времени величин и для их изображений совпадает до оператора, то считая p=d…/dt – оператором дифференцирования, передаточную функцию рассматривают как сокращенную форму записи дифференциального уравнения.

$$ W(p) = {k(Tp + 1) \over T_2^2p+1} = {y \over g} $$

– сокращенная форма записи дифференциального уравнения, где

$$ p = {d \over dt} \text{ - оператор дифференцирования. }$$ $$ k(Tp + 1) умножаем \ на \ g $$ $$ (T_2^2p + 1) умножаем \ на \ y $$

По правилу пропорции получим получим:

$$ k(Tp + 1) = T_2^2p + 1$$

Таким образом, используя нулевые начальные условия, мы можем перейти от передаточной функции к соответствующему ей дифференциальному уравнению, заменив $$ p = \alpha \pm \beta j \text{ - комплексную переменную на } p = {d \over dt} - \text{ оператор дифференцирования } $$. В результате получим дифференциальное уравнение.

$$ T_2^2{dy \over dt} + y = kT_1{dg \over dt} + kg $$

В данном случае n=1, а m=1, так как это порядок числителя и знаменателя.

Определяем коэффициенты: $$ a_1, a_0 и b_1, b_0 $$

$$ a_1 = T_2^2 $$

$$ a_0 = 1 $$

$$ b_1 = kT_1 $$

$$ b_0 = k $$

Для применения все методов подготовки к моделированию коэффициент при старшей производной должен быть равен 1, поэтому нужно получившееся выражение поделить на $$ T_2^2 $$.

И оно будет иметь вид:

$$ {dy \over dt} + {y \over T_2^2} = {kT_1 \over T_2^2}{dg \over dt} + {k \over T_2^2}g $$

Снова проставляем коэффициенты

$$ n = 1 $$

$$ a_1 = 1 $$

$$ a_0 = {1 \over T_2^2 } $$

$$ m = 1 $$

$$ b_1 = {kT_1 \over T_2^2 } $$

$$ b_0 = {k \over T_2^2 } $$

Коэффициент при старшей производной a₁ стал равен 1, далее преобразуем дифференциальное уравнение по формулам метода непосредственного интегрирования из методических указаний по лабораторному практикуму [1]. Далее будем обозначать номера используемых формул из лабораторного практикума как (1. Номер формулы).

$$ \text{(1.3) } \qquad \qquad \qquad y = z_1 + b_n g $$ $$ \text{(1.4) } \qquad \qquad \qquad {dz_1 \over dt} = -(a_{n-1} y - b_{n-1} g) + z_2 $$

Для определения z₂ воспользуемся обобщенным выражением:

Для определения z2 воспользуемся обобщенным выражением:

$$ \text{(1.5) } \qquad \qquad \qquad {dz_1 \over dt } = -(a_{n-k}y - b_{n-k}g) +z_{k+1}, (k=1,2,...,n), z_{n+1} = 0 $$

По формулам (1.3) - (1.5) получим

\begin{cases} y = z_1 + b_1g = z_1 + {kT_1 \over T_2^2}g \\ {dz_1 \over dt } = -{y \over T_2^2} + {k \over T_2^2} g \end{cases}

Решив полученную систему уравнений при g(t)=1(t) (т.е. 1 при t>=0), найдем значения переходной функции (это значения y в данной системе). Для этого необходимо применить численный метод для решения полученного дифференциального уравнения, например, метод Эйлера или метод Рунге-Кутта. Более подробно, ознакомиться с этими методами можно по ссылке и по ссылке

Далее будет рассматриваться метод Рунге-Кутта для решения дифференциального уравнения первого порядка.

Решение дифференциального уравнения $$ y' = f(t,y) $$ при заданных начальных условиях $$ y(0)=y_0 $$ (в нашем случае они нулевые, т. е. y₀> =0) на интервале [0, L] с шагом $$ \Delta t $$ находится по формулам:

$$ y_{i+1} = y_i + {1 \over 6} * (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) $$ $$ k_1 = f(t_i, y_i) \Delta t $$ $$ k_2 = f(t_i + {\Delta t \over 2}, y_i + {k_1 \over 2}) \Delta t $$ $$ k_3 = f(t_i + { \Delta t \over 2}, y_i + {k_2 \over 2}) \Delta t $$ $$ k_4 = f(t_i + \Delta t, y_i + k_3) \Delta t $$

Как найти dt и L?

$$ dt = {T_{min} \over 10} \ или \ {T_{min} \over 100} $$

Для типовых звеньев первого порядка: L=(3 или 4)T_max

Для типовых звеньев второго порядка: $$ L \approx {6 \pi T \over \sqrt{1 + \xi^2}} $$.

Применим метод Рунге-Кутта к нашему примеру:

\begin{cases} y = z_1 + { kT_1 \over T_2^2}g \\ k_1 = dt({k \over T_2^2}g - {y \over T_2^2}) \\ k_2 = dt({k \over T_2^2}g - {1 \over T_2^2 }(y + {k_1 \over 2 })) \\ k_3 = dt({k \over T_2^2}g - {1 \over T_2^2 }(y + {k_2 \over 2 })) \\ k_4 = dt({k \over T_2^2}g - {1 \over T_2^2 }(y + k_3)) \\ z_1 = z_1 + { 1 \over 6 } (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \end{cases}

Обратите внимание, так как полученные уравнения не содержат явной зависимости от t, то приращения $$ t_i + {\Delta t \over 2} \text{ и } t_i + \Delta t $$. в рассматриваемом примере отсутствуют.

Дальше достаточно перенести полученные выражения в программный код и построить график. Такой график должен получиться при dt=1; T₁ = 0.1; T₂ = 2; k=1.

$$ $$.

Чтобы построить график весовой функции воспользуемся соотношением $$ w(t)=h′(t) $$. Тогда для нахождения значений w(t) необходимо численно продифференцировать, т.е. $$ w = {\Delta h \over \Delta t} $$ или с учетом используемых в листинге переменных: $$ w = {(y-ypr) \over dt} $$ , ypr – значение переменной y, вычисленное на предыдущем шаге.

В случае, если моделируется звено, в числителе передаточной функции которого есть $$p (m \ge 1) $$, то в весовой функции будет присутствовать слагаемое с $$ \delta (t) \ \text{ при } t = 0 $$, приводящее к резкому скачку значения w(0). Чтобы избежать этого при моделировании необходимо выводить график весовой функции, пропуская w(0). Для этого добавим условие if (t>0) $$ w = { (y-ypr) \over dt} $$.

Для рассматриваемого примера получим (T₁= 0.1; T₂=2; k=1) следующие графики временных характеристик

Выше был рассмотрен пример для системы, описываемой дифференциальным уравнением первого порядка. Рассмотрим моделирование системы второго порядка, поскольку используемые методы численного решения дифференциальных уравнений будут отличаться

$$ W(p) = { kp \over T^2p^2 +1} $$

Соответствующее дифференциальное уравнение:

$$ T^2 {d^2y \over dt^2} + y = k { dg \over dt } $$

Избавимся от коэффициента при старшей производной T₂ и получим:

$$ {d^2y \over dt^2} + {y \over T^2} = {k \over T^2}{dg \over dt} $$

Определим коэффициенты

$$ n=2 $$

$$ a_2=1 $$

$$ a_1 = 0 $$

$$ a_0 = { 1 \over T^2} $$

$$ m=1 $$

$$ b_2 = 0 $$

$$ b_1 = { k \over T^2 }g $$

$$ b_0 = 0 $$

Применяя метод непосредственного интегрирования, получим

\begin{cases} y = z_1 \\ {dz_1 \over dt } = {k \over T_2}g + z_2 \\ {dz_2 \over dt } = {1 \over T_2}y \end{cases}

В результате исходное дифференциальное уравнение второго порядка было разбито на систему из двух уравнений первого порядка. Для решения систем дифференциальных уравнений используется соответствующий метод Рунге-Кутта (более подробно по ссылке:метод Рунге-Кутта) Приведем формулы данного метода, позволяющего решать системы дифференциальных уравнений первого порядка, вида:

\begin{cases} {dy \over dt } = f(t, y, z, ...) \\ {dz \over dt } = f(t, y, z, ...) \\ \text{и т.д.} \end{cases}

Которые имеют решение: y=y(t), z=z(t) и т.д. при заданных начальных условиях y₀, z₀….

$$ y_{i+1} = y_i + {1 \over 6} * (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k4)$$ $$ z_{i+1} = z_i + {1 \over 6} * (m_1 + 2m_2 + 2m_3 + m4)$$ $$ k_1 = f(t_i, y_i, z_i, ...) \Delta t$$ $$ m_1 = g(t_i, y_i, z_i, ...) \Delta t $$ $$ k_2 = f(t_i + {\Delta t \over 2}, y_i + {k_1 \over 2 }, z_i + {m_1 \over 2}, ...) \Delta t $$ $$ m_2 = g(t_i + {\Delta t \over 2}, y_i + {k_1 \over 2 }, z_i + {m_1 \over 2}, ...) \Delta t $$ $$ k_3 = f(t_i + {\Delta t \over 2}, y_i + {k_2 \over 2 }, z_i + {m_2 \over 2}, ...) \Delta t $$ $$ m_3 = g(t_i + {\Delta t \over 2}, y_i + {k_2 \over 2 }, z_i + {m_2 \over 2}, ...) \Delta t $$ $$ k_4 = f(t_i + \Delta t, y_i + k_3, z_i + m_3, ...) \Delta t $$ $$ m_4 = g(t_i + \Delta t, y_i + k_3, z_i + m_3, ...) \Delta t $$

Применив метод Рунге-Кутта к рассматриваемому примеру, получим:

\begin{cases} y = z_1 \\ k_1 = dt(z_2 + { k \over T^2 }g ) \\ m_1 = dt(-{y \over T^2}) \\ k_2 = dt(z_2 + {m_1 \over 2} + {k \over T^2} g) \\ m_2 = dt(-{1 \over T^2 } (y + {k_1 \over 2})) \\ k_3 = dt(z_2 + { m_2 \over 2 } + {k \over T^2}g)\\ m_3 = dt(-{1 \over T^2}(y + {k_2 \over 2})) \\ k_4 = dt(z_2 + m_3 + { k \over T^2}g)\\ m_4 = dt(-{1 \over T^2}(y + k_3)) \\ z_1 = z_1 + {1 \over 6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)\\ z_2 = z_2 + {1 \over 6}(m_1 + 2m_2 + 2m_3 + m_4) \end{cases}

Классический метод

Рассмотрим нахождение выражения переходной функции классическим методом на примере.

$$ W(p) = {kp \over Tp+1}$$

Рассмотрим соответствующее дифференциальное уравнение

$$T {dy \over dt} + y = k{dg \over dt}$$

Так как для переходной функции $$ g(t)=1(t)$$, то справа имеем дельта функцию: $$ {dg \over dt} = 1'(t) = \delta(t). $$ Это значит, что условие теоремы Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения не выполняется и необходимо решать специальными методами, например, изложенным в [1]. Если в числителе передаточной функции нет p (т.е. m=0), то дифференциальное уравнение можно решать, как классическими методами (например, методом Лагранжа), так и рассматриваемым ниже методом.

Первое, что необходимо сделать, это посчитать установившееся значение.

$$ \text{Используем формулу:} $$ $$ \text{(1.13) } \qquad \qquad \qquad lim_{t \to \infty} y(t) = y_{уст} = {b_0 \over a_0}$$ $$ \text{ Так как } $$

$$ n = 1 $$

$$ a_1 = T $$

$$ a_0 = 1 $$

$$ m = 1 $$

$$ b_1 = k $$

$$ b_0 = 0 $$

То

$$ y_{уст} = {b_0 \over a_0} = 0 $$

Далее по формулам (1.14) и (1.15) нам необходимо перейти к новой переменной z(t) - которая является решением соответствующего однородного дифференциального уравнения. Справа ставим 0 и решаем дифференциальное уравнение. Получаем однородное дифференциальное уравнение:

$$ T{dz \over dt} + z = 0 $$ $$ \text{Где } z(t) = y(t) - y_{уст} \qquad \qquad \qquad \text{ (1.14) } $$

В данном случае, y_уст = 0. В большинстве случаев оно отлично от нуля, поэтому его важно не потерять при дальнейшем решении.

Решаем дифференциальное уравнение:

$$ \text{Дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение:}$$ $$ Tp + 1 = 0 $$ $$ p = -{1 \over T} \text{ Корень действительный, значит решение z(t):}$$ $$ z(t) = C_1e^{pt} = C_1e ^{-t \over T} $$

Требуется найти C1 из начальных условий:

$$ z_0 = y_0 - y_{уст} \ z'_0 = y'_0.$$

Так как при m>=1 функция справа разрывная, то различают начальные условия слева от 0 (до момента приложения внешнего воздействия) и справа от 0 (непосредственно после приложения воздействия), т.е. при времени t = -0 и t = +0, соответственно. В большинстве практических случаев для времени t=-0 принимают нулевые начальные условия, т.е. y_-0 = 0, y'_-0=0, y''_-0=0 и т.д. Аналогично для (n-m-1) начальных условий при: t=₊0:y₊₀=0, y'₀ = 0, ... , y₀^(n-m-1) = 0. Так как для рассматриваемого примера (n-m-1)=1-1-1 = -1, то необходимо использовать формулы (1.17). $$ \text{(1.17) } \qquad \qquad \qquad y_{+0} = {b_1 \over a_1} = { k \over T }$$ Если решается уравнение второго порядка, то необходимо аналогичным образом найти начальные условия для y'.

$$ z(0)= C_1e^{-{0 \over T}} = {k \over T} \Rightarrow C_1 = {k \over T} $$ $$ z(t) = {k \over T}e^{-{t \over T}} $$ $$ y(t) = z(t) + y_{уст} = {k \over T}e^{-{t \over T}} \text{ В данном случае функции совпали,так как } y_{уст} = 0 $$

Напоминая о том, что на вход подавали единичную ступенчатую функцию, запишем выражение для переходной функции

$$ h(t) = {k \over T}e^{-{t \over T}}1(t) $$

Весовую функцию находим как производную от переходной функции.

$$ \text{ Важно помнить что: } $$ $$ 1'(t) = \Delta(t) = \begin{cases} \infty, t=0 \\ 0, t \neq 0. \end{cases} $$

Тогда

$$ W(t) = h'(t) = {k \over T}({-{1 \over T}})e^{-{t \over T}} 1(t) + {k \over T}e^{-{t \over T}} \Delta(t) = $$ $$ = -{k \over T^2}e^{-{t \over T}}1(t) + {k \over T}e^0 \delta(t) = -{k \over T^2}e^{-{t \over T}} 1(t) + {k \over T} \delta (t)$$

При построении графиков весовой функции по аналитическим формулам слагаемые с $$ \delta(t) $$(в случае их наличия) опускаются.

Полученные аналитические выражения для h(t) и w(t) можно сопоставить c выражениями из справочников и учебников. Графики, построенные по полученным аналитическим выражениям должны совпадать с соответствующими графиками функций, полученными при моделировании.

Операторный метод.

Для передаточной функции $$ W(p) = {Y(p) \over G(p)} $$ ищем $$ Y(p)=W(p)G(p) $$, используя формулы разложения Карсона-Хевисайда.

Найдем переходную функцию.

$$ g(t) = 1(t) $$ $$ g(t) \div G(p) $$ $$ h(t) \div H(p) $$

Переходная функция - это реакция системы на единичный ступенчатый сигнал, его изображением является:

$$ 1(t) \div {1 \over p} $$ $$ \text{Поэтому} $$ $$ G(p) = {1 \over p} $$

следовательно,

$$ H(p) = W(p) {1 \over p} $$

Рассмотрим несколько примеров.

1. Корни знаменателя простые

$$ W(p) = k{T_0p + 1 \over Tp + 1} $$ $$ H(p) = k{T_0p + 1 \over Tp + 1} * {1 \over p} $$

Корни знаменателя

$$ D(p)=(Tp+1) p = 0; p_1 = 0; p_2 = -{1 \over T}$$ — простые и не кратные.

В этом случае решение ищется по формуле:

$$ \text{(1.19 )} \qquad \qquad \qquad h(t) = L^{-1}[H(p)] = \left[ {K(p) \over D(p)} \right ] = \sum_{i=1}^n = {K(p_i) \over D'(p_i)}e^{p_it} $$

Найдем производную для знаменателя $$ D(p)=Tp^2+p=0 $$

$$ D^{'}(p) = 2Tp+1 $$ $$ h(t) = L^{-1}[H(p)] = {k(T_0*0 +1) \over 2T*0+1}*e^{0t} + {k(T_0(-{1 \over T})) \over 2T*(-{1 \over T})+1} e^{-{t \over T}} $$ $$ \text{ Сокращаем и получаем формулу для переходной функции:} $$ $$ h(t)= (k-k*{T-T_0 \over T} * e^{-{t \over T}})1(t) $$

2. Корни знаменателя комплексно-сопряженные

$$ \text{Пусть} W(p) = {k \over T^2p^2 + 1}$$ $$ H(p) = W(p) * {1 \over p} = {k \over (T^2p^2 + 1)p} = {k \over T^2p^3+p} $$

Находим корни

$$ D(p)=(T^2 p^2+1)p=0 $$ $$ p_1 = 0; T^2p^2 + 1 = 0; p^2 = -{1 \over T^2}; p_{2,3} = \pm {1 \over T}j$$

Для решения будем использовать две формулы (1.19) - для действительных корней и (1.22) - для комплексно-сопряженных

$$ L^{-1}[H(p)] = L^{-1}[H(p)]_{p=0} + L^{-1}[H(p)]_{p=1 \pm {1 \over T} j} = H_1 + H_2 $$ $$ H_1 = L^{-1}[H(p)]_{p=0} $$ $$ H_2 = L^{-1}[H(p)]_{p=1 \pm {1 \over T} j} $$

Используем 19 формулу (для действительных корней p=0)

$$ D'(p) = 3T^2p^2 + 1 $$ $$ H_1 = {k \over 3T^2 0 + 1} * e^0 = k $$

Используем 22 формулу (для чисто мнимых корней)

$$ p_{2,3} = \alpha \pm \beta j = \pm {1 \over T} j, \alpha = 0, \beta = {1 \over T} $$ $$ \text{(1.22) } \qquad \qquad \qquad H_2 = 2At^l*e^{\alpha t} cos \beta t + 2Bt^l e^{\alpha t} sin \beta t $$ $$ \text{l = 1- 1 = 0 - кратность комплексных пар.}$$

Ищем мнимую и действительную часть от выражения:

$$ {k \over 3T^2p^2 + 1} \text{при } p = {1 \over T} j$$

Если звено имеет комплексно сопряженные корни, то необходимо домножить на комплексно-сопряженное, чтобы избавиться от мнимости в знаменателе(7,8,9 варианты)

$$ {k \over 3T^2({1 \over T}j)^2 +1} = {k \over 3T^2 * -{ 1 \over T^2} + 1} = -{k \over 2} = A \pm Bj$$ $$ A = {-k \over 2}; B = 0 $$ $$ H_2=2At^l*e^{\alpha t} \cos \beta t + 2Bt^l e^{\alpha t} \sin \beta t=2A \cos \beta t+2 \beta \sin \beta t = $$ $$ =2*({-k \over 2}) \cos {t \over T}=-k \cos {t \over T} $$ $$ h(t) = L^{-1}[H(p)] = k -kcos{t \over T}1(t) $$

3. Кратные действительные корни

$$ W(p) = {Tp + 1 \over p}$$ $$ H(p) = W(p) * {1 \over p} = {Tp + 1 \over p^2} $$

Находим корни

$$ D(p) = p^2 = 0 $$

p_1,2 = 0 – кратные действительные корни. Функция ищется по формулам (1.20) и (1.21)

$$ \text{(1.20) } \qquad \qquad \qquad L^{-1}[H(p)] = L^{-1} \left[ {K(p) \over D(p)} \right ] = \sum_{i=1}^S \sum_{k=1}^{l_i} F_{ik}t^{l_i - k} e^{p_it}, (t > 0) $$ $$ \text{(1.21) } \qquad \qquad \qquad F_{ik} = {1 \over (k-1)!(l_i-k)!} \times {d^{k-1} \over dp^{k-1}} \left[ {(p-p_i)^{l_i} K(p) \over D(p)} \right ] _{p=p_i}, $$

где s-количество кратных пар, l_i-количество корней в i паре.

В рассматриваемом примере s=1, l₁=2

$$ h(t) = L^{-1} [H(p)] = F_{11}t^{2-1}e^{0t} + F_{12}t^{2-2}e^{0t} = F_{11}t + F_{12} $$ $$ F_{11} = {1 \over (1-1)!(2-1)!} \times {d^{1-1} \over dp^{1-1}} \left[ {(p-0)^2 (Tp + 1) \over p^2} \right]_{p=0} = (Tp+1)_{p=0} = 1$$ $$ F_{12} = {1 \over (2-1)!(2-2)!} \times {d^{2-1} \over dp^{2-1}} \left[ {(p-0)^2 (Tp + 1) \over p^2} \right]_{p=0} = {d(Tp+1) \over dp}_{p=0} = T$$

В результате получаем

$$ h(t) = F_{11}t + F_{12} = (t+T)1(t) $$

Для поиска весовой функции операторным методом используются те же самые формулы. Рассмотрим на примере поиск весовой функции для $$ W(p)={k \over (Tp+1)} $$

Если ищем весовую функцию, на вход подается единичный импульс $$ ((t)=\delta(t)) $$, а его изображением является 1. Весовая функция имеет своим изображением передаточную

$$ g(t) \div 1 $$ $$ w(t) = L^{-1} [W(p)] $$

Находим корень знаменателя $$ D(p)=Tp+1=0, p1={-1 \over T}. $$ Так как корень единственный и действительный весовую функцию находим по формуле (1.19)

$$ w(t) = L^{-1}[W(p)] = {k \over T} e^{-{t \over T}} $$

Обратите внимание, что формулы разложения Карсона-Хевисайда, позволяют находить оригиналы при t>0. Следовательно, при поиске весовых функций слагаемые, соответствующие $$ \delta (t) $$, получить невозможно. Аналитические выражения для весовых функций, полученные классическим методом и операторным могут отличаться.

Как найти параметры k и T на графиках?

Физический смысл коэффициента k – это всегда коэффициент усиления (показывает, что входной сигнал изменяется в k раз). Для большинства систем установившееся значение переходной функции h_уст будет равно k.

Параметр T – постоянная времени, характеризует инертность системы. Чем больше T, тем медлительнее система (например, быстрее нагревается конфорка у плиты, но медленнее остывает вода в термосе). Как правило, T находят на графиках переходных функций, проводя касательные в точке h(0) (см. рисунок).

В некоторых случаях найти параметры постоянных времени и коэффициента усиления, можно используя аналитические формулы переходной и весовой функции и значения этих функции в момент времени t=0 (их легко найти на графике, и они не всегда равны 0).